致命的: The web application [コンテキスト名] registered the JDBC driver [ドライバ名] but failed to unregister it when the web application was stopped. To prevent a memory leak, the JDBC Driver has been forcibly unregistered.

Tomcat6.0.24から実装されたメモリリーク防止機能で、Tomcatをシャットダウンする際に、WebアプリケーションがJDBCドライバを参照したままになっていた場合に、強制的に破棄する際に発生するエラーです。
本来なら、Tomcatに内蔵されているDBCPがJDBCドライバの参照を破棄すればいいのですが、DBCPのバグにより破棄されないため、発生しているエラーです。
対策としては、Tomcatとしては正しい動作をしているためエラーを無視する、DBCP以外のDBコネクション・プールを利用する、WebアプリケーションをクローズするときにServletContextListener#contextDestroyedで明示的にJDBCドライバの参照を破棄するなどの方法があります。

致命的: The web application [コンテキスト名] appears to have started a thread named [スレッド名] but has failed to stop it. This is very likely to create a memory leak.

Tomcat6.0.24から実装されたメモリリーク防止機能で、Tomcatをシャットダウンする際に、実行中のスレッドを停止できなかった場合に発生するエラーです。

警告: A docBase [docBaseのパス名] inside the host appBase has been specified, and will be ignored.

コンテキスト.xmlのdocBase属性に指定した値がappBase配下のディレクトリを指している場合に、冗長な設定として発生する警告です。appBaseはTomcatのデフォルトの設定では$CATALINA_HOME/webappsです。docBase属性の値がappBase配下のディレクトリである場合はdocBase属性の指定は不要です。

<Context path="/example" docBase="/usr/local/apache-tomcat-7.0.23/webapps/example">

↑docBase属性の設定を削除します。

情報: The APR based Apache Tomcat Native library which allows optimal performance in production environments was not found on the java.library.path: [パス名]

ApacheのApache Portable Runtime（APR）をTomcatから使用するためのライブラリが見つからないと言うメッセージです。Tomcatのデフォルトの設定では、ライブラリを読み込むように設定されていますので、その部分をコメントアウトします。
APRは、OSなどの環境の違いを吸収するAPIを提供するライブラリです。通常は利用しないと思います。

ライブラリ読み込みの設定は、server.xmlファイルにされていますので、その部分をコメントアウトします。

<!--APR library loader. Documentation at /docs/apr.html -->
<!--Listener className="org.apache.catalina.core.AprLifecycleListener" SSLEngine="on" /-->

↑設定部分をコメントアウトします。