その間に、「再描画」されるようになってないからでしょ。

waitではなくThread#sleepを使います。
Swingのシングルスレッドモデル(EDT = イベントディスパッチスレッド)に
対する理解が必要になりますが、だいたい以下の様なコードになると思います。
0.5秒おきにmoveCard()を呼び出して再描画する処理を10回繰り返します。

    public void mouseClicked(MouseEvent e) {
        final int count = 10;
        new Thread(new Runnable() {
            @Override
            public void run() {
                for (int i = 0; i < count; i++) {
                    try {
                        SwingUtilities.invokeLater(new Runnable() {
                            public void run() {
                                moveCard();
                            }
                        });
                        Thread.sleep(500);
                    } catch (InterruptedException e) {}
                }
            }
        }).start();
    }
    
    public void moveCard() {
        //カード移動のための処理を実装
        component.repaint(); //componentは描画しているコンポーネント
    }

moveCardメソッド内でrepaint以外にSwingコンポーネントのメソッドを
呼び出していない場合はrunメソッドの部分を
    for (int i = 0; i < count; i++) {
        try {
            moveCard();
             component.repaint(); //componentは描画しているコンポーネント
            Thread.sleep(500);
        } catch (InterruptedException e) {}
    }
として大丈夫です。
「Swing　スレッドモデル」などで検索してみてください。
もし分からなかったらmouseClickedメソッドとpaintComponentあるいは
paintメソッドのコードを示してください。

やはり新たにスレッドを作ったりする必要があったんですね。
とりあえずカード移動部分をそのまま抜き出してエンクロージング型クラスを作り、waitではなくThread.sleepを使い、下のコードで私の思っているような動作になりました。

トランプは実はpaintによる描画ではなく、クリック判定を楽する目的で画像を入れたJLabelにしています。
CardクラスというのがJLabelを親クラスとした自作クラスになっていて、トランプの数字記憶用変数numとマーク記憶用変数markとトランプをめくるcardTurnメソッドなどがあります。
列や場にあるトランプの並びを記憶させたりするためのAreaクラスがあり、ベースの枠を表示させるためにもJLabelを親クラスとして作っていて、その上に重なっているトランプの並びを記憶するためのVector<Card>のcard変数などがあります。
line配列やarea配列はそのクラスのもので、line配列で各列・area配列で各場にあるトランプを管理しています。

gameClearメソッドでクリア判定をし、true(クリア)なら以降の動作はやるだけ無駄なのでreturnしていましたが、Threadのrunメソッドの場合returnはするべきではなかったりしますか？

//-----------------------------
@Override
public void mouseClicked(MouseEvent event){
    if(!(event.getSource() instanceof Card)){
        new CardMove().start();
    }
}

class CardMove  extends Thread{        
    @Override
    public void run(){
        try {
            while(true){
                int move=0;
                for(int x=0;x<7;x++){
                    if(line[x].card.size()>0){
                        for(int x2=0;x2<4;x2++){
                            if(area[x2].card.size()==0){
                                if(line[x].card.get(0).num==0){
                                    Thread.sleep(500);
                                    getContentPane().setComponentZOrder(line[x].card.get(0), 0);
                                    line[x].card.get(0).setLocation(area[x2].getLocation());
                                    area[x2].card.add(line[x].card.get(0));
                                    line[x].card.remove(0);
                                    move++;
                                    if(gameClear()==true){
                                        return;
                                    }
                                    break;
                                }
                            }
                            else{
                                if((line[x].card.get(0).mark==area[x2].card.get(area[x2].card.size()-1).mark) &&
                                        (line[x].card.get(0).num==area[x2].card.get(area[x2].card.size()-1).num+1)){
                                    Thread.sleep(500);
                                    getContentPane().setComponentZOrder(line[x].card.get(0), 0);
                                    line[x].card.get(0).setLocation(area[x2].getLocation());
                                    area[x2].card.add(line[x].card.get(0));
                                    line[x].card.remove(0);
                                    move++;
                                    if(gameClear()==true){
                                        return;
                                    }
                                    break;
                                }
                            }
                        }
                        if(line[x].card.size()>0 && line[x].card.get(0).turn==0){
                            Thread.sleep(500);
                            line[x].card.get(0).cardTurn();
                        }
                    }
                }
                if(move==0){
                    break;
                }
            }
        } catch (InterruptedException e) {
            e.printStackTrace();
        }
    }
}

サンプルがいい加減でした。
すいません。
最初のtryブロックと最後のcatch部分を削除して
2カ所のsleepを以下のようにコンパクトにしてください。
try {
    Thread.sleep(500);
} catch (InterruptedException e) {}
あと大事なことですがSwingのコンポーネントへのアクセスはEDT上で行う必要が
あるのでrunメソッドの内容はSwingUtilities#invokeLaterを使った形に
書き直さなければ成りません。
「Swing　スレッドモデル」などで検索して学習してください。
それとrunメソッドを途中でreturnすること自体には何も問題ありません。

途中でエラーが出た時に一連を中止してもらおうかと持って一連をtry-chatchで囲ってました。
途中でreturnすることは特に問題ないようならこのままにします。
EDTとかは知らないのでとりあえず自分で調べてみようと思います。

回答ありがとうございました。